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Universität St. Kliment Ohridski Universität – Sofia, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät

Vorlesung Höhere Mathematik II

ECTS 4

Präsenzzeit 60 (Vorlesung: 30, Übungen: 30)

Semester 2

 

INHALT der Vorlesung

1. Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen

1.1. Definition und Darstellungsformen von Funktionen

1.1.1. Definitionen

1.1.2. Funktionsgleichungen

1.1.3. Graph einer Funktion

1.2. Verhalten von Funktionen

1.2.1. Symmetrieeigenschaften von Funktionen

1.2.2. Schranken und Nullstellen von Funktionen

1.2.3. Periodizität. Umkehrfunktionen

1.3. Verschiebungen und Streckungen

1.3.1. Kongruente Verschiebung

1.3.2. Affine Stauchung. Affine Streckung

1.4. Monotonie von Funktionen

1.5. Grenzwerte von Funktionen

1.6. Rechenregeln für Grenzwerte

1.7. Stetigkeit von Funktionen

1.7.1. Definitionen

1.7.2. Sätze über Funktionen, die in einem Intervall stetig sind

1.7.3. Umkehrung einer monotonen und stetigen Funktion

1.8. Funktionsarten

1.8.1. Polynome

1.8.2. Gebrochen-rationale Funktionen

1.8.3. Die Partialbruchzerlegung

1.9. Der Begriff des Differentials

1.9.1. Steigung einer Gerade

1.9.2. Differenzierbarkeit und Steigung einer Funktion

1.9.3. Das Differential einer Funktion

1.9.4. Sätze und Definitionen

1.9.5. Grundregeln der Differenzierung von Funktionen

1.9.6. Bemerkenswerte mittelbare Funktionen

1.9.7. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung

1.10. Sätze über differenzierbare Funktionen

1.11. Kurvendiskussion

1.11.1. Geometrische Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion

1.11.2. Asymptoten

1.12. Ableitung einer inversen Funktion

1.13. Die Bogenfunktionen

1.13.1. Darstellung der Bogenfunktionen am Einheitskreis

1.14. Die Exponential- und Logarithmusfunktionen

1.15. Die Hyperbel- und Areafunktionen

1.16. Die Differentialoperatoren

1.17. Grenzwert-Aufgaben

1.18. Aufgaben

2. Die Integralrechnung

2.1. Das unbestimmte Integral

2.2. Formale Integrationsmethoden

2.2.1. Die Substitutionsmethode

2.2.2. Die Methode der Produktintegration

2.2.3. Integration durch Partialbruchzerlegung

2.3. Das bestimmte Integral

2.3.1. Sätze über die Integrationsgrenzen

2.3.2. Das Fächenproblem

2.3.3. Bemerkungen und Ergänzungen

2.4. Uneigentliche Integrale

2.5. Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe

2.5.1. Bestimmung von Bogenlängen

2.5.2. Bestimmung von Bogenlängen

2.5.3. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung

2.6. Aufgaben

3. Potenzreihen

3.1. Potenzreihendarstellung von Funktionen

3.2. Maclaurin-Reihen und Maclaurin-Polynome

3.3. Potenzreihen-Entwicklungsmethoden

3.3.1. f (x) ist darstellbar als Quotient zweier Funktionen g(x) und h(x), deren Potenzreihen bekannt sind

3.3.2. f (x) ist darstellbar als Kehrwert einer Funktion h(x), deren Potenzreihenentwicklung bekannt ist

3.3.3. Potenzreihenentwicklung durch Integration

3.4. Taylor-Reihen und Taylor-Polynome

3.4.1. Sonderfälle der Taylor-Reihe

3.4.2. Integration durch Potenzreihenentwicklung

3.4.3. Bedeutung der Taylor-Entwicklung von Funktionen

4. Funktionen von zwei reellen Veränderlichen

4.1. Geometrische Darstellungsformen

4.2. Partielle Ableitungen

4.3. Höhere partielle Ableitungen

4.4. Das totale (vollständige) Differential

4.5. Grenzwerte und Stetigkeit der Funktionen von zwei Veränderlichen

4.6. Ausdehnung des Taylorschen Satzes

4.7. Minima und Maxima von Funktionen mit mehreren Veränderlichen

4.7.1. Funktionen von zwei Veränderlichen

4.7.2. Funktionen mit drei und mehr Veränderlichen

4.7.3. Extrema unter Nebenbedingungen

4.8. Volumen- und Flächeninhaltberechnung

4.8.1. Volumen eines Körpers

4.8.2. Inhalt eines räumlichen Flächenstücks

5. Implizite (unentwickelte) Funktionen

5.1. Arbeiten mit Parameterdarstellungen

6. Gewöhnliche Differentialgleichungen

6.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

6.1.1. Trennbare (separierbare) Differentialgleichungen

6.1.2. Wachstums- und Abnahmeprozesse

6.1.3. Homogene Differentialgleichungen (Ahnlichkeitsgifferentialgleichungen)

6.1.4. Homogene Differentialgleichungen (Ahnlichkeitsgifferentialgleichungen)

6.1.5. Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

6.1.6. Die Bernoullische Differentialgleichung

6.1.7. Die Riccatische Differentialgleichung

6.2. Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

6.2.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung - integrable Typen